[인천] 산곡동과외 고2 수학 지수함수와 로그함수 공부하기

[인천] 산곡동과외 고2 수학 지수함수와 로그함수 공부하기

고등학교 2학년 수학 공부를 어떻게 해야할까요? 수학1 지수함수와 로그함수 공부는 어떻게 해야할까요? 고등학교 수학은 암기식으로 공부하기 어렵습니다. 지수함수와 로그함수는 지수와 로그를 알고 당연히 함수도 알아야 합니다.

​지수와 로그, 함수는 중학교에서 배웠던 내용입니다. 결국 중학교에서 얼마나 정확하게 공부를 하고 이해했는지에 따라서 체감 난이도는 달라지게 됩니다. ​

인천 산곡동과외는 고등학생 수학을 어떻게 공부해야하는지 방법을 알려주고 수업을 진행합니다.

중학교 1학년때 거듭제곱, 지수를 배웁니다. 그리고 중학교 2학년때 지수법칙을 배웁니다. 3학년때 제곱근의 뜻과 성질을 배우게 됩니다. 지수함수와 로그함수를 공부하기 위해서는 먼저 중학교 수학에서 지수와 로그에 대해서 정확하게 공부를 해야 합니다. 그리고 먼저 지수가 먼지, 로그가 먼지 알아야 합니다.

지수와 로그에 대해서 정확하게 알아야 합니다.

​지수함수 · 로그함수는 앞에서 배운 수학I의 지수와 로그의 개념들이 연계되어 있습니다. 지수의 경우, 지수의 밑과 지수법칙이 로그의 경우, 로그의 밑, 진수의 조건과 로그의 성질이 지수함수 · 로그함수 개념에 포함되어 있죠. 그리고 함수이기 때문에 평행이동과 대칭이동 개념과 수(하)에서 배운 역함수와 합성함수 개념이 연계되죠. 특히 지수함수와 로그함수가 역함수 관계임을 이용하여 문제를 푸는 경우가 있기 때문에 역함수 성질에 대해서도 잘 알고 있어야 해요!

​또한, 지수함수와 로그함수의 최대 · 최소를 구하는 문제가 시험에 주로 출제되는데, 지수함수와 로그함수의 성질뿐만 아니라 1. 이차함수의 최대 · 최소를 이용하거나 2. t로 치환하거나 3. 산술평균과 기하평균의 관계를 이용하여 푸는 방식으로 다양하게 나뉘기 때문에 문제에 주어진 조건에 따라 적합한 방식으로 풀 수 있어야 합니다. 그 외에도 지수함수와 로그함수가 방정식과 부등식 형태로 활용되는 문제도 자주 출제되니 수(상) 방정식과 부등식 개념도 꼭 점검해야 합니다.

​지수함수

​함수라는 것이 무엇인지는 다들 아실 거라고 생각해요 모른다면 중학교 수학을 복습하길 추천드립니다. y=f(x) 꼴로 이루어진 것인데, f(x)에 지수 형태가 오는 함수를 뜻해요. 하지만 지수 형태라고 해서 모두 지수함수는 아니고, 지수에 x가 들어가야만 지수함수라고 합니다.

위와 같은 함수를 지수함수라고 합니다. 여기서 a가 1이면 x에 어떤 수가 와도 1이기 때문에 a=1인 경우는 제외를 했습니다. 그리고 a <0이면 진동하기 때문에 a>0인 경우만 지수함수의 형태로 다룰 수 있습니다. 지수함수가 어떻게 그래프로 표현되는지도 알아보겠습니다.

일반적으로 지수함수는 위와 같이 그래프로 표현할 수 있습니다. 그런데 지수함수에서 밑인 a가 만약에 0 <a <1인 범위라면? 지수인 x가 증가할수록 그 수는 점점 줄어들겠죠? 그리고 a>0, a≠1인 경우에 지수인 x=0이라면 항상 그 값은 1이겠죠? 이러한 것을 정리하면 최종적으로 지수함수의 성질은 아래와 같습니다. 지수함수 y=ax ( a>0 , a≠1 ) 정의역은 실수 전체의 집합이고, 치역은 양의 실수 전체의 집합입니다. a>1일때 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가합니다. 0 < a < 1 일때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소합니다. 그래프는 점(0,1)을 자나고, 점근선은 x축입니다.

점근선이라는 것은 어떠한 그래프가 점차 가까워지는 선을 말하는데, 일반적으로는 x 축이지만 그래프가 평행이동된다면? 그 결과는 평행이동 한 값에 따라 달라지겠죠? 만약 y축으로 3만큼 이동한 함수라면 그 점근선 또한 3만큼 이동만 해주면 됩니다.

 

 

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로그함수

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로그의 정의를 잠깐 보자면 위와 같습니다. 그럼 앞서 배웠던 지수함수를 로그의 정의로 나타내 보겠습니다.

위와 같이 나타낼 수 있겠죠? 여기서도 당연히 a>0, a≠1은 만족해야 합니다. 그럼 위 식에서 x, y의 자리를 바꾸게 되면? 바로 지수함수의 역함수를 얻을 수 있겠죠?

위와 같은 함수를 a를 밑으로 하는 "로그함수"라고 합니다. 즉 지수함수의 역함수라는 뜻이죠. 그럼 그래프 또한 지수함수의 역함수이므로 y=x에 대칭되게 그려주면 되겠죠? 그럼 그래프로 다시 한번 보겠습니다.

 

그럼 지수함수와 로그함수의 관계를 이해하셨죠? 지수함수에서 a>1일 때는 x의 값이 증가할수록 y의 값이 증가했습니다. 로그함수에서도 a>1일 때는 그래프를 확인해 보시면 x의 값이 증가할수록 y의 값이 증가하는 것을 확인할 수 있죠? 그럼 지수함수에서 0 <a <1일 때는 x의 값이 증가할수록 y의 값이 감소하였습니다. 그럼 로그함수에서도 당연히 x의 값이 증가할수록 y의 값은 감소하는 것을 알 수 있습니다. 두 그래프를 비교하면서 로그함수의 성질을 살펴보겠습니다. 로그함수 y=logax 정의역은 양의 실수 전체의 집합이고, 치역은 실수 전체의 집합입니다. a>1 일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가합니다. 0 < a < 1 일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소합니다. 그래프는 점 (1 , 0)을 지나고, 점근선은 y축입니다.

점 (1,0)을 지난다는 것은 함수에 대입해보면 알 수 있지만 지수함수가 (0,1)을 지나는 것은 확실히 보았으니 지수함수의 역함수 이므로 (0,1)을 x, y의 위치를 바꿔주면 알 수 있겠죠? 지수함수에서 점근선은 x 축이었지만, 로그함수는 지수함수의 역함수이니 점근선이 y축이 된다는 것을 역함수의 관계로도 쉽게 알 수 있습니다.

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​인천시 부평구 산곡동과외는 고등학생이 수학 공부를 효과적으로 할 수 있는 방법을 알려주고 지속적으로 수업합니다.